«Решение неравенств методом интервалов»

Тема урока: «Решение неравенств методом интервалов»

Слайд 1.

Цели урока:

- создание условий для самореализации учащихся в процессе учебной деятельности;

- развитие математических, интеллектуальных способностей учащихся;

- формирование математической культуры учащихся.

Слайд 2.

План урока.

1. Организационный момент.

Постановка целей урока.

1. Актуализация знаний.
2. Самостоятельная работа.
3. Решение неравенств методом интервалов.
4. Презентация обобщенного метода интервалов.
5. Итог урока.
6. Домашнее задание.

1. Вступительное слово учителя.

Метод неравенств, применяется для решения неравенств, левая часть которых представляет собой произведение нескольких двучленов, неравенств, второй степени с одной переменной, для нахождения области определения некоторых функций. В старших классах этот метод применяется при решении иррациональных, показательных, логарифмических и других неравенств.

Универсальность этого метода заложена уже в его содержании.

Давайте вспомним алгоритм выполнения данного метода.

2. Ответы учащихся:

- просматриваем, является ли неравенство неравенством стандартного вида;

- составляем функцию из левой части неравенства;

- находим область определения функции;

-находим нули функции;

- отмечаем в области определения нули функции, которые разбивают область определения на несколько промежутков, внутри каждого из которых, функция сохраняет свой знак. - иллюстрацию изменения знаков функции в промежутках осуществляют с помощью координатной прямой. В промежутке справа от наибольшего из нулей, ставят знак «+», в следующем за ним справа на лево интервале ставят знак «_», затем знак «+», затем знак «_» и т.д.

- множеством всех решений неравенства (х-х₁)(х-х₂)…(х-х_n ) > 0 (<)

будет объединение всех промежутков, в которых стоит знак «+», (объединение всех промежутков в которых стоит знак «_» ) .

3. Сейчас мы применим метод интервалов при выполнении самостоятельной работы с элементами самопроверки.

Слайд 3.

1 вариант 2 вариант

1. (х-1)(х-2) > 0 1. (х+2)(х+5) < 0

2. (х-5)(х+1)(х+2) < 0 2. (х-2)(х+3)(х-4) > 0

3. (4-5х)(5+2х) < 0 3. (3+5х)(2-х) > 0

4. х²-25 > 0 4. х²-16 > 0

5. х²-2х-3< 0 5. х²-х-6 > 0

Слайд 4.

Ответы:

1вариант 2 вариант

1.(-∞;1) Ụ (2;+ ∞), 1.(-5;-2),

2.(- ∞;-2) Ụ (-1;5), 2.(-3;2) Ụ (4;+ ∞),

3.(- ∞;-2,5)Ụ (0,8;+ ∞), 3.(-0,6;2),

4.(-∞;-5) Ụ (5;+ ∞), 4.(- ∞;-4) Ụ (4;+ ∞),

5.(-1;3). 5.(- ∞;-3) Ụ (2;+∞).

4. Решение неравенств методом интервалов.

1. Решить неравенство х²-х-12 ≥ 0

х+7

Это неравенство равносильно неравенству (х²-х-12)(х+7) ≥ 0. Действительно знак дроби совпадает со знаком произведения.

Решим неравенство методом интервалов.

f(x)=(x²-x-12)(x+7),

f(x)=0 при х=-3, х=4, х≠-7.

_ + _ +

-7 -3 4 х

f(x)≥0 при x € (-7; -3] Ụ [ 4;+∞).

Ответ: (-7; -3] Ụ [ 4;+∞)

2. Решить неравенство (х² +4)(3-х)(х+1\8) ≤ 0.

В произведении (х² +4) (3-х) (х+1\8) присутствует множитель х² +4, положительный при любых значениях х , поэтому данное неравенство равносильно неравенству (3-х)(х+1\8) ≤ 0 .

Решим его методом интервалов.

(3-х)(х+1\8)≤0.

Приведем неравенство к стандартному виду.

(х-3)(х+1\8)≥0,

f(х)=(х-3)(х+1\8),

D(f)=(-∞+∞),

f(х)=0 при х=3,х=-1\8.

+ - +

-1/8 3 х

f(х) ≥ 0 при х € (-∞;-1\8] Ụ [ 3; +∞) .

Ответ: (-∞;-1\8] Ụ [ 3; +∞)

3. Найдите область определения функции у = √ х(х+2,3)(1,4-х).

Т.к. подкоренное выражение должно быть неотрицательным , то х(х+2.3)(1,4-х)≥0.Применим метод интервалов.

x(x+2,3)(x-1,4)≤0,

f(x)=x(x+2,3)(x-1,4),

f(x)=0 при x=0, x=-2,3, x=1,4.

- + - +

-2,3 0 1,4 x

f(x)≤0 при x € (-∞;-2,3]Ụ[0;1,4].

Ответ: (-∞;-2,3]Ụ[0;1,4]

4. Решить неравенство (х²-11х)(х²-9) > 0.

Для применения метода интервалов разложим левую часть неравенства на множители.

х(х-11)(х-3)(х+3) > 0.

Применим метод интервалов.

f(x)=x(x-11)(x-3)(x+3),

D(f)=(-∞+∞),

f(x)=0 при x=0, x=11, x=3, x=-3.

+ - + - +

-3 0 3 11 x

f(x)>0 при x € (-∞;-3) Ụ (0;3) Ụ (11;+∞ ).

Ответ:(-∞;-3)Ụ(0;3)Ụ(11;+∞)

5. Презентация обобщенного метода интервалов.

Слайд 5.

1.Решить неравенство (х+7)(х-2)²(х-5) < 0.

Для решения неравенств вида (х-х₁)^k (х-х₂)^k…(х-х_n)^k > 0(<0), где

k_1,k_2,…,k_n-целые положительные числа, х_1,x_2,…,x_n- действительные числа. Применяют обобщенный метод интервалов который отличается от стандартного метода интервалов только после нанесения нулей функции на координатную прямую.

На координатную прямую наносят числа х₁,x_2,…,x_n ; в промежутке справа от наибольшего из корней ставят знак «+», а затем двигаясь справа на лево, при переходе через очередной нуль функции меняют знак, если k- нечетное число, и сохраняют знак если k- четное число.

(х+7)(х-2)²(х-5) < 0,

D(f)=(-∞;+∞),

f(x)=0 при x=-7, x=2, x=5,

+ - - +

-7(нч) 2(ч) 5 (нч) x

f(x)<0 при x € (-7;2) Ụ (2;5).

Ответ:(-7;2)Ụ(2;5)

2. Решим более сложное задание этим же методом

(х+6)(4х-7)³(х-5)⁵(2х+9)⁴> 0

Для решения этого неравенства применим обобщенный метод интервалов.

Отметим на числовой прямой нули функции.

f(x)=0 при x=-6, x=1,75, x=5, x=-4,5.

- + + - +

-6(нч) -4,5(ч) 1,75(нч) 5(нч) x

В крайнем правом промежутке ставим знак «+». При переходе через точку х=5 знак меняем , т.к. показатель степени двучлена х-5 нечетный; аналогично через точку х=1,75. Справа от точки х=-4,5 знак «+» значит и слева от этой точки знак «+» т.к. показатель двучлена 2х+9 четный; при переходе через точку х=-6 знак меняем показатель двучлена х+6 четный.

Решением неравенства является объединение промежутков там где стоит знак «+».

х € (-6;-4,5)Ụ(-4,5;1,75)Ụ(5;+∞).

Ответ: (-6;-4,5)Ụ(-4,5;1,75)Ụ(5;+∞)

6. Итог урока.

7. Домашнее задание.

1. Литература.
2. Алгебра: Учебн. для 9 кл. общеобразоват. Учреждений/

Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С.Б. Суворова; Под ред. С.А.Теляковского,- М.; Просвещение, 2008.

2.Алгебра. 9 класс. Проверочные и контрольные работы. Капитонова Т.А.-Саратов: Лицей, 2007.

3. Математика. Задачи М.И. Сканави. Сост. С.М. Марач, П.В. Полуносик,-Мн.; изд. В.Н.Скакун, 1999.

4. Математика. 8-9 классы: элективные курсы «Самый простой способ решения непростых неравенств»/ авт.- сост. Л.Р. Харламова.- Волгоград: Учитель, 2007.