Автор: Фомкина Ольга Александровна
Учебное заведение: Беловская СОШ Беловского района Курской области
Краткое описание работы: Цели кружкового занятия: познакомить обучающихся  с понятием графа и его свойствами,  научить строить графы для ситуаций, описанных в текстовых задачах, научить составлять математическую модель текстовой задачи, переходить от этой модели к ответам задачи, анализируя жизненную ситуацию. 

Дата публикации: Конспект кружкового занятия в 9 классе на тему: «Графы и их применение в решении задач» Цели кружкового занятия: познакомить обучающихся  с понятием графа и его свойствами,  научить строить графы для ситуаций, описанных в текстовых задачах, научить составлять математическую модель текстовой задачи, переходить от этой модели к ответам задачи, анализируя жизненную ситуацию.  
Просмотреть свитедельство о публикации

algebra

Конспект кружкового занятия в 9 классе на тему: «Графы и их применение в решении задач»

муниципальное казенное общеобразовательное учреждение

«Беловская средняя общеобразовательная школа»


Конспект кружкового занятия в 9 «Б» классе

на тему:

«Графы и их применение в решении задач»

 Руководитель кружка:

учитель математики

Фомкина Ольга Александровна

 

2012 – 2013 учебный год

      Цель:

1)          Познакомить обучающихся  с понятием графа и его свойствами.

2)          Научить строить графы для ситуаций, описанных в текстовых задачах.

       Обучащиеся должны уметь:

1.           Анализировать условия текстовой задачи, выявлять главное в тексте.

2.           Обосновывать выбор свойств  графа при решении текстовых задач.

3.           Строить графы для ситуации, описанной в задаче.

      Задачи:

Научить составлять математическую модель текстовой задачи, переходить от этой модели к ответам задачи, анализируя жизненную ситуацию.

 

Ход занятия

 Учитель:

Для того, чтобы научиться решать задачи, надо разобраться в том, как они устроены, из каких частей они состоят, каковы инструменты, с помощью которых проводится решение задач.

Любая задача представляет собой требование или вопрос, на который надо найти ответ, опираясь и учитывая те условия, которые указаны в задаче. Потому, приступая к решению какой-либо задачи, надо её внимательно изучить, установить, в чем состоят её требования (вопросы), каковы условия, исходя из которых надо решать задачу. Результаты предварительного анализа задачи надо как-то зафиксировать, записать. Схематичная запись    задачи должна быть удобна, компактна и в то же время достаточно наглядна. Первой отличительной особенностью схематичной записи задач является широкое использование в ней разного рода обозначений, символов, букв, рисунков, чертежей. Второй особенностью является то, что в ней четко выделены все условия и требования задачи, а в записи каждого условия указаны объекты и их характеристики, наконец, в схематичной записи фиксируется лишь то, что необходимо для решения задачи, все другие подробности отбрасываются. Эти положения соблюдены в графах.

Чтобы каждому школьнику обеспечить возможность решать задачу с необходимыми объяснениями и в определенной последовательности, ему дается список указаний. Этот список предлагается или в готовом виде, или составляется вместе с обучающимися класса. Ученики читают его и одновременно выполняют упражнение:

1.            О каком процессе идет речь в задаче?

2.     Какие величины характеризуют этот процесс?

3.     Каким соотношением связаны эти величины?

4.     Сколько различных процессов описывается в задаче?

5.     Есть ли связь между элементами?

Отвечая на эти вопросы (вопросник этот висит на стенде в кабинете, записан на закладках или обложках тетрадей обучающихся), школьники анализируют условие задачи, записывают его схематично. Эта схема –сетевой граф.

Вы, наверное, знаете, что есть такой город Калининград, раньше он назывался Кенигсберг. Через город протекает река Преголя. Она делится на два рукава и огибает остров. В XVIII   веке в городе было семь мостов, расположенных так, как показано на рисунке.

Рассказывают, что однажды житель города спросил у своего знакомого, сможет ли он пройти по всем мостам так, чтобы на каждом из них побывать только один раз вернуться к тому месту, откуда началась прогулка. Многие горожане заинтересовались этой задачей, однако придумать решение никто не смог. Этот вопрос привлек внимание ученых разных стран.

         Разрешить проблему удалось известному математику Леонардо Эйлеру. Причем, он не только решил эти конкретную задачу, но придумал общий метод решения подобных задач. Эйлер поступил следующим образом: он «сжал» сушу в точки, а мосты «вытянул» в линии. В результате получилась фигура, изображенная на рисунке:

Такую фигуру, состоящую из точек и линий, связывающих эти точки, называют графом. Точки А, В, С, Л — называют вершинами графа, а линии, которые соединяют вершины — ребрами графа. На рисунке из вершины В, С, А выходят по 3 ребра, а из вершины А — 5 ребер. Вершины, из которых выходит нечетное число ребер, называют нечетными вершинами, вершины, из которых выходит четное количество ребер — четными.

Решая задачу про кенигсбергские мосты, Эйлер установил, в частности, свойства графа.

      Если все вершины графа четные, то можно одним росчерком (т.е. не отрывая карандаша от бумаги и не проводя дважды по одной и той же линии) начертить граф. При этом движение можно начать с любой вершины и окончить в той же вершине.

      Граф с двумя нечетными вершинами тоже можно начертить одним росчерком. Движение надо начинать от любой нечетной вершины, а заканчивать на другой нечетной вершине.

      Граф с более чем двумя нечетными вершинами невозможно начертить одним росчерком.

В задаче о семи кенигсберских мостах все четыре вершины соответствующего графа нечетные, т.е. нельзя пройти по всем мостам один раз и закончить путь там, где он был начат.

Задача.

Четыре острова соединены между собой и с берегами реки 14 мостами так, как показано на рисунке. Можно ли за одну прогулку обойти все эти мосты, побывав на каждом из них один раз? Если это возможно, то начертите один из маршрутов. Нарисуйте соответствующий граф.

Рисунок:


Имеются две нечетные вершины (В и С). Следовательно, за одну прогулку можно обойти все мосты, побывав на каждом из них один раз. При этом прогулку надо начинать с острова В и заканчивать на острове С или наоборот.

? Число нечетных вершин графа всегда четное.

? Если в графе имеются нечетные вершины, то наименьшее число росчерков, которое можно нарисовать граф, равно половине числа нечетных вершин этого графа.

     Например, если фигура имеет четыре нечетные вершины, то ее можно начертить, самое меньшее, двумя росчерками.

 

Граф:                                 А


F

 

 

                            Задача

Мальчик нарисовал на бумаге три синих и три красных контура, которые нигде не пересекались. Затем рисунок накрыли листом бумаги так, что один из контуров оказался целиком накрыт, а все другие были частично видны. Нарисуйте закрытую часть рисунка.



         Задача

       В первенстве класса по настольному теннису 6 участников: Андрей, Борис, Виктор, Галина, Дмитрий и Елена. Первенство проводят по круговой системе — каждый из участников играет с каждым из остальных один раз. К настоящему моменту некоторые игры уже проведены: Андрей сыграл с Борисом, Галиной, Еленой; Борис — с Андреем, Галиной; Виктор — с Галиной, Дмитрием, Еленой; Галина — с Андреем, Виктором и Борисом. Сколько игр проведено к настоящему моменту и сколько еще осталось?

Решение:

 

Построим граф.

Граф

 


 

           Сыграно 7 игр.

Граф имеет 8 ребер, следовательно, осталось провести 8 игр. Ответ: проведено 7 игр, осталось провести 8 игр.

      

          Задача

Кто играет Ляпкина-Тяпкина?

В    школьном    драматическом    кружке    решили    ставить    гоголевского «Ревизора». И тут разгорелся жаркий спор. Все началось с Ляпкина-Тяпкина.

-Ляпкиным-Тяпкиным буду я!- решительно заявил Дима.- С раннего детства я мечтал воплотить этот образ на сцене.

—   Ну  хорошо,   согласен   уступить   эту   роль,   если   мне   дадут   сыграть
Хлестакова, — проявил великодушие Гена.

А мне — Осипа, — не уступил ему в великодушии Лима.

Хочу быть Земляникой или Городничим, — сказал Вова.

-Нет, Городничим буду я, — хором закричали Алик и Боря. — Или Хлестаковым,

— добавили они одновременно.

Удастся ли распределить роли так, чтобы исполнители были довольны?

Решение:

Построим граф для ситуации, описанной в задаче

 

Граф

 

 

А                      Б                         В                    Г                   Л


А                     X                 О                      З                           Г

 

 

          Граф с 10 вершинами и 10 ребрами. Надо выбрать из 10 пять ребер, не имеющих общих вершин: Дима — Осип, Вова — Земляника, Гена — Ляпкин-Тяпкин. Остается два случая: Алик — Хлестаков, Боря — Городничий или Алик -Городничий, Боря — Хлестаков. Как показывает граф, других решений нет.

Задача

Докажите, что среди любых шести человек найдутся либо трое, друг с другом знакомые, либо трое, друг с другом незнакомые.

 

Решение:  

 

             Задача  

         В походе, который длится 12 дней, участвовали 9 человек. Каждый день дежурили 3 человека. При этом дежурные ссорились каждый день друг с другом, и никакие двое из них не хотели больше ни разу дежурить вместе. Тем не менее участники похода утверждают, что все 12 дней им удавалось назначить тройки дежурных с учетом этого требования. Могло ли так быть?

 

           Решение:

       Участники похода обозначены цифрами от 1 до 9, каждый столбец соответствует тройке дежурных.

 

Расписание дежурств

 

1

4

7

1

2

3

1

2

3

1

2

3

2

5

8

4

5

6

5

6

4

6

4

5

3

6

9

7

8

9

9

7

8

8

9

7

 

       Можно изобразить тройки дежурных графом: участники похода обозначены точками, каждое дежурство обозначено линией одного стиля

 

                        Граф

 

Литература

1.     Альхова З.Н., Макеева А.В. Внеклассная работа. – Саратов: «Лицей», 2002

2.     Асарина Е.Ю., Фрид М.Е. Математика выводит из лабиринта. – М.: Контекст, 1997

3.     Клименко Д.В. Задачи по математике для любознательных. – М.: Просвещение, 1991

4.     Кубанина Л.М. Графы и их применение в решении задач. – Чебоксары: Чувашское изд-во, 1995

5.     Леман И. Увлекательная математика. – М.: Знание, 1985

6.     Шапиро А.Д. Зачем нужно решать задачи? Построение графиков. – М. Просвещение, 1996

7.     Шустер Ф.М. Материал для внеклассной работы по математике. – Минск, 1968

8.     Математика. 8-9 классы. Элективные курсы. Харламова. Волгоград, Учитель, 2007